Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een gretig (greedy) algoritme:

  1. AGebruikt alleen recursie
  2. BProbeert elke mogelijke oplossing
  3. CMaakt bij elke stap de lokaal beste keuze
  4. DGeeft altijd de optimale oplossing
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de looptijd van het algoritme van Dijkstra met een binaire heap op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO((V + E) log V)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat geldt voor de adjacency matrix van een ongerichte graaf?

  1. AZe is altijd bovendriehoeks
  2. BElke rij heeft precies één 1
  3. CZe is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
  4. DHaar hoofddiagonaal bevat altijd enen
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe verbetert een radix tree (gecomprimeerde trie) een gewone trie?

  1. AHij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
  2. BHij slaat elk woord op in een hashtabel bij de wortel in plaats van in aparte knopen
  3. CHij bewaart alleen de eerste letter van elk woord
  4. DHij sorteert de kinderen van elke knoop op frequentie
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
141482511213662ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze

Waarom dit het antwoord is

Gretige algoritmen zijn snel en optimaal voor sommige problemen (bijv. Dijkstra, Huffman-codering), maar niet in het algemeen (bijv. wisselgeld teruggeven bij sommige muntsystemen).

Antwoord

C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O((V + E) log V)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn V extract-min- en hoogstens E decrease-keybewerkingen, elk O(log V); een Fibonacci-heap verbetert dit tot O(E + V log V).

Antwoord

D · O((V + E) log V)
3.Datastructuren

Antwoord: C · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal

Waarom dit het antwoord is

In een ongerichte graaf betekent kant {u, v} dat zowel M[u][v] als M[v][u] gezet zijn, dus de matrix is gelijk aan haar getransponeerde.

Antwoord

C · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
4.Datastructuren

Antwoord: A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label

Waarom dit het antwoord is

Het samenvoegen van paden zonder vertakking vermindert het aantal knopen en het geheugengebruik, terwijl zoeken op prefix mogelijk blijft.

Antwoord

A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 29

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 14, C: 14
B (14): D: 16, G: 27
C (14): E: 19, G: 20
D (16): E: 17
E (17): F: 29, G: 19
G (19)
F (29)

Kortste pad

A → B → D → E → F
d(F) = 29

Antwoord

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms