Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. AJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
  2. BNee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
  3. CNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
  4. DJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het 0/1-knapzakprobleem opgelost met dynamisch programmeren kost O(nW) tijd. Waarom heet dit pseudo-polynomiaal?

  1. AOmdat het alleen werkt voor W = 0
  2. BW is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
  3. COmdat n altijd klein is
  4. DOmdat het algoritme gerandomiseerd is en de looptijd per invoer verschilt
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
  2. BZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  3. CVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  4. DVerwijder het laatste element van de array
4.DatastructurenMoeilijk

Welke datastructuur maakt een LRU-cache (least recently used) met get en put in O(1) mogelijk?

  1. AAlleen een binaire zoekboom
  2. BEén gesorteerde array
  3. CAlleen een stack
  4. DEen hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1713612120419818ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt G. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Gk = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF
  9. 9kant GB
  10. 10kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

A · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

Waarom dit het antwoord is

De looptijd is polynomiaal in de waarde van W maar exponentieel in de lengte ervan (log W bits); het 0/1-knapzakprobleem is NP-volledig.

Antwoord

B · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

C · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

De hashmap vindt knopen in O(1) en de dubbel gekoppelde lijst verplaatst benaderde elementen naar voren en verwijdert achteraan in O(1).

Antwoord

D · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

D, F → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant DF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. GB (8)
2. BC (6)
3. CE (1)
4. BD (12)
5. DF (4)
6. AC (13)

kantnummer 5

DF

Antwoord

kant DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms