Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  2. BKies eerst de kortste activiteit
  3. CKies de activiteit die het vroegst begint
  4. DKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CAltijd het eerste element kiezen
  4. DDe pivot uniform willekeurig kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
  2. BVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  3. CBezoek elk blad en vergelijk ze
  4. DKijk alleen naar de wortel
4.DatastructurenMoeilijk

Welke garantie geven de regels van een rood-zwartboom over de hoogte van een boom met n sleutels?

  1. ADe hoogte is hoogstens log2 n + 1
  2. BDe hoogte is precies log2 n
  3. CDe hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
  4. DDe hoogte is hoogstens n / 2
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 11 hoekpunten en 18 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 11|E| = 18
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
147103928714ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

D · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)

Waarom dit het antwoord is

Elk pad heeft hetzelfde aantal zwarte knopen en rode knopen kunnen niet naast elkaar liggen, dus het langste pad is hoogstens twee keer het kortste, wat hoogte O(log n) geeft.

Antwoord

C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 8

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

11 − 1 = 10

Te verwijderen kanten

k = 18 − 10 = 8

Antwoord

k = 8
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 14
C (14): B: 21, E: 17, G: 21
E (17): D: 26, F: 25
B (21)
G (21)
F (25)
D (26)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 25

Antwoord

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms