Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Strassen vermenigvuldigt matrices met 7 in plaats van 8 recursieve vermenigvuldigingen van blokken van halve grootte. Wat is de looptijd?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
  4. DΘ(n² log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen gebalanceerde binaire zoekboom
  2. BEen hashtabel
  3. CEen stack
  4. DEen ongesorteerde gekoppelde lijst
4.DatastructurenMoeilijk

Door het invoegen van een sleutel in een AVL-boom wordt de linkersubboom van een knoop te hoog, en de nieuwe sleutel kwam in de linkersubboom van zijn linkerkind (left-left-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen linksrotatie bij het kind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  2. BEen enkele linksrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  3. CHet opnieuw kleuren van de knoop en zijn kind
  4. DEen enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 12 hoekpunten en 12 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 12|E| = 12
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
114613722012ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2.

start: Fk = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BD
  4. 4kant DE
  5. 5kant DF
  6. 6kant EF
  7. 7kant GB
  8. 8kant GC
  9. 9kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

B · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81

Waarom dit het antwoord is

Met a = 7 en b = 2 domineert nlog₂ 7 het O(n²)-optelwerk, wat ongeveer n2,81 geeft.

Antwoord

C · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

A · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop

Waarom dit het antwoord is

In het left-left-geval tilt één rechtsrotatie het linkerkind omhoog en herstelt de balans; zigzaggevallen vereisen een dubbele rotatie.

Antwoord

D · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 1

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

12 − 1 = 11

Te verwijderen kanten

k = 12 − 11 = 1

Antwoord

k = 1
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (3)
2. DE (1)
3. BD (6)
4. GB (2)
5. AB (11)
6. AC (4)

kantnummer 2

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms