Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk sorteeralgoritme is stabiel?

  1. ASelectionsort (gangbare versie)
  2. BHeapsort
  3. CQuicksort (gangbare in-place-versie)
  4. DMergesort
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke twee dingen moeten worden aangetoond om te bewijzen dat een beslissingsprobleem X NP-volledig is?

  1. AX heeft geen polynomiaal algoritme, en X is beslisbaar
  2. BX zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
  3. CX reduceert tot een probleem in P, en X zit in NP
  4. DX zit in P, en X reduceert tot SAT
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur wordt gebruikt om te controleren of de haakjes in "{[()]}" in balans zijn?

  1. AEen hashtabel
  2. BEen stack
  3. CEen binaire zoekboom
  4. DEen queue
4.DatastructurenMoeilijk

Welke eigenschap houdt elke B-boom perfect gebalanceerd?

  1. AElke knoop heeft precies twee kinderen
  2. BDe sleutels worden alleen in de wortel opgeslagen
  3. CElke knoop slaat één sleutel op
  4. DAlle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 10 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 10|E| = 15
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
13412101719111ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt A. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Ak = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Mergesort

Waarom dit het antwoord is

Mergesort is stabiel als het samenvoegen bij gelijke waarden eerst uit de linkerhelft neemt. In-place quicksort, heapsort en selectionsort zijn meestal niet stabiel.

Antwoord

D · Mergesort
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X

Waarom dit het antwoord is

Lidmaatschap van NP laat zien dat X niet moeilijker is dan NP; de reductie vanuit een bekend NP-volledig probleem laat zien dat X minstens zo moeilijk is als heel NP.

Antwoord

B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een stack

Waarom dit het antwoord is

Push elk openingshaakje en pop bij een sluithaakje; dat moet passen bij het gepopte haakje en de stack moet aan het eind leeg zijn.

Antwoord

B · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte

Waarom dit het antwoord is

Knopen splitsen naar boven als ze vol zijn en de boom wordt alleen hoger als de wortel splitst, dus alle bladeren blijven altijd op hetzelfde niveau.

Antwoord

D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

10 − 1 = 9

Te verwijderen kanten

k = 15 − 9 = 6

Antwoord

k = 6
6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (4)
2. BC (12)
3. BD (10)
4. DF (1)
5. EF (11)

kantnummer 5

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms