Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welk algoritme vindt een minimaal opspannende boom door herhaaldelijk de goedkoopste kant toe te voegen die geen cyclus vormt?

  1. AFloyd-Warshall
  2. BHet algoritme van Kruskal
  3. CHet algoritme van Dijkstra
  4. DHet algoritme van Prim vanuit één knoop
3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

  1. ADubbel hashen (double hashing)
  2. BSeparate chaining (ketenen)
  3. CLineair proberen (linear probing)
  4. DKwadratisch proberen (quadratic probing)
4.DatastructurenMoeilijk

Welke eigenschap houdt elke B-boom perfect gebalanceerd?

  1. AElke knoop heeft precies twee kinderen
  2. BDe sleutels worden alleen in de wortel opgeslagen
  3. CElke knoop slaat één sleutel op
  4. DAlle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 7 hoekpunten en 8 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 7|E| = 8
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
131413155146841ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

De binnenste lus loopt ongeveer log₂ n keer voor elk van de n buitenste iteraties, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

B · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het algoritme van Kruskal

Waarom dit het antwoord is

Kruskal sorteert kanten op gewicht en voegt ze toe als ze verschillende componenten verbinden; Prim laat één boom groeien vanuit een startknoop.

Antwoord

B · Het algoritme van Kruskal
3.Datastructuren

Antwoord: B · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

B · Separate chaining (ketenen)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte

Waarom dit het antwoord is

Knopen splitsen naar boven als ze vol zijn en de boom wordt alleen hoger als de wortel splitst, dus alle bladeren blijven altijd op hetzelfde niveau.

Antwoord

D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 2

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

7 − 1 = 6

Te verwijderen kanten

k = 8 − 6 = 2

Antwoord

k = 2
6.Grafentheorie

Antwoord: C

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 13, C: 14
2. B (13): D: 26, G: 19
3. C (14): E: 29
4. G (19): D: 23, E: 20
5. E (20): F: 34
6. D (23)
7. F (34)

ronde 3

C

Antwoord

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms