Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 100
  2. BOngeveer 1,000
  3. COngeveer 500,000
  4. DOngeveer 20
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.DatastructurenGemiddeld

AVL-bomen en rood-zwartbomen garanderen:

  1. ADat geen enkele knoop twee kinderen heeft
  2. BEen hoogte van O(log n) door herbalancering
  3. CDat sleutels in invoegvolgorde worden opgeslagen
  4. DZoeken in constante tijd in elk geval
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe slaan data ongesorteerd op
  2. BHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
  3. CZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  4. DZe hebben geen herbalancering nodig
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 3
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
18415103811ABCDE

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt C. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4.

start: Ck = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

D · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

D · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een hoogte van O(log n) door herbalancering

Waarom dit het antwoord is

Zelfbalancerende bomen houden de hoogte logaritmisch, zodat zoeken, invoegen en verwijderen in het slechtste geval O(log n) zijn.

Antwoord

B · Een hoogte van O(log n) door herbalancering
4.Datastructuren

Antwoord: B · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

B · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Antwoord

L = 5

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant BD

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. CE (3)
2. AC (4)
3. DE (8)
4. BD (10)

kantnummer 4

BD

Antwoord

kant BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms