Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom levert dynamisch programmeren geen echte versnelling op voor mergesort?

  1. ADynamisch programmeren werkt alleen op grafenproblemen, niet op arrays
  2. BDe deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
  3. CMergesort is al O(n)
  4. DMergesort heeft geen recursieve structuur
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Held-Karp voor dynamisch programmeren lost het handelsreizigersprobleem exact op. Wat is de looptijd voor n steden?

  1. AO(n³)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(2n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

  1. AHet aantal elementen opslaan
  2. BVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen
  3. CDe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
  4. DDe lijst gesorteerd maken
4.DatastructurenMoeilijk

Welk paar doorlopen bepaalt altijd een unieke binaire boom met verschillende sleutels?

  1. APreorder en inorder
  2. BAlleen level-order
  3. CAlleen preorder
  4. DPreorder en postorder
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K6? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K6
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
51232732ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken

Waarom dit het antwoord is

De helften van mergesort zijn disjunct en worden elk één keer opgelost; DP helpt alleen als deelproblemen terugkomen, zoals bij Fibonacci.

Antwoord

B · De deelproblemen overlappen niet, dus er valt niets te hergebruiken
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n² 2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn ongeveer n 2ⁿ toestanden, die elk in O(n) worden berekend; dat is exponentieel, maar veel sneller dan alle (n − 1)! routes proberen.

Antwoord

C · O(n² 2ⁿ)
3.Datastructuren

Antwoord: C · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

C · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.Datastructuren

Antwoord: A · Preorder en inorder

Waarom dit het antwoord is

Preorder geeft de wortel, en zijn positie in de inorder-reeks splitst de linker- en rechtersubboom; preorder met postorder is dubbelzinnig als een knoop één kind heeft.

Antwoord

A · Preorder en inorder
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 8

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): B: 3
B (3): D: 6, E: 5
E (5): F: 8
D (6)
F (8)

Kortste pad

A → C → B → E → F
d(F) = 8

Antwoord

d(F) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms