Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AEen minimale opspannende boom in O(E log V)
  2. BKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
  3. CEen topologische ordening in O(V²)
  4. DKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Karatsuba-vermenigvuldiging voldoet aan T(n) = 3T(n/2) + O(n). Wat is de oplossing?

  1. AΘ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat geldt voor de adjacency matrix van een ongerichte graaf?

  1. AElke rij heeft precies één 1
  2. BZe is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
  3. CZe is altijd bovendriehoeks
  4. DHaar hoofddiagonaal bevat altijd enen
4.DatastructurenMoeilijk

Welke bewerkingen ondersteunt een Fenwick-boom (binary indexed tree) over een array van n getallen in O(log n)?

  1. ADe mediaan vinden in O(1)
  2. BElementen op elke positie invoegen
  3. CPrefixsomquery's en updates van één element
  4. DDe array sorteren en binair zoeken
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
491285687ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

D · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585

Waarom dit het antwoord is

Omdat log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, domineren volgens het mastertheorema de bladeren, wat beter is dan de O(n²) van de schoolmethode.

Antwoord

A · Θ(nlog₂ 3), ongeveer n1,585
3.Datastructuren

Antwoord: B · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal

Waarom dit het antwoord is

In een ongerichte graaf betekent kant {u, v} dat zowel M[u][v] als M[v][u] gezet zijn, dus de matrix is gelijk aan haar getransponeerde.

Antwoord

B · Ze is symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal
4.Datastructuren

Antwoord: C · Prefixsomquery's en updates van één element

Waarom dit het antwoord is

Een Fenwick-boom slaat deelsommen op over bereiken die worden bepaald door de lage bits van elke index, zodat zowel prefixsommen als puntupdates O(log n) kosten.

Antwoord

C · Prefixsomquery's en updates van één element
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: B

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): C: 4
2. C (4): B: 13, E: 12
3. E (12): D: 17, F: 20
4. B (13)
5. D (17)
6. F (20)

ronde 4

B

Antwoord

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms