Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke grens is juist voor log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Je hebt een verwijzing naar een knoop in het midden van een lijst. In welke lijst kun je die in O(1) verwijderen?

  1. AEen dynamische array
  2. BEen gesorteerde array
  3. CEen dubbel gekoppelde lijst
  4. DEen enkelvoudig gekoppelde lijst
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  2. BZe hebben geen herbalancering nodig
  3. CZe slaan data ongesorteerd op
  4. DHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 11 hoekpunten en 22 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 11|E| = 22
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
9121036521413ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

C · O(1)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(n log n)

Waarom dit het antwoord is

log(n!) ≤ n log n, en de grootste n / 2 factoren geven log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); daarom heeft sorteren met vergelijkingen Ω(n log n) nodig.

Antwoord

A · Θ(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: C · Een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

Een dubbel gekoppelde knoop kent zijn voorganger, dus je kunt prev en next direct opnieuw koppelen; een enkelvoudig gekoppelde lijst moet de voorganger zoeken.

Antwoord

C · Een dubbel gekoppelde lijst
4.Datastructuren

Antwoord: D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

11 − 1 = 10

Te verwijderen kanten

k = 22 − 10 = 12

Antwoord

k = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 14

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 9, C: 12
B (9): D: 12, E: 22
C (12): E: 18
D (12): E: 17, F: 14
F (14)
E (17)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 14

Antwoord

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms