Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  2. BHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  3. CEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  4. DElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

  1. AIn polynomiale tijd oplosbaar is
  2. BIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
  3. COnmogelijk op te lossen is
  4. DBuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
  2. BKijk alleen naar de wortel
  3. CVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  4. DBezoek elk blad en vergelijk ze
4.DatastructurenMoeilijk

Je moet uit een stroom van n getallen de k kleinste waarden bewaren met O(k) geheugen. Welke aanpak werkt in O(n log k) tijd?

  1. AEen FIFO-queue van de laatste k waarden
  2. BEen min-heap met alle n waarden, waaruit aan het eind de k kleinste worden gehaald
  3. CEen gesorteerde array van alle n waarden
  4. DEen max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
15416207561014ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

C · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

B · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.Datastructuren

Antwoord: A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt

Waarom dit het antwoord is

De wortel van de max-heap is de grootste bewaarde waarde; elke kleinere nieuwe waarde vervangt die in O(log k), zodat de heap altijd de k kleinste tot nu toe bevat.

Antwoord

D · Een max-heap van grootte k, waarvan je de wortel vervangt als er een kleinere waarde binnenkomt
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 51

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BC (4): nemen
EF (5): nemen
GB (6): nemen
DF (7): nemen
GC (10): overslaan, sluit een cykel
GE (14): nemen
AC (15): nemen

Totaal gewicht

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 14 + 15 = 51

Antwoord

W = 51

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms