Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. AEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
  2. BBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
  3. CElk element moet minstens één keer worden vergeleken
  4. DElke vergelijking kost logaritmische tijd
3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

  1. AElke knoop is rood of zwart gekleurd
  2. BBeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
  3. CAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
  4. DDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe hebben geen herbalancering nodig
  2. BHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
  3. CZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  4. DZe slaan data ongesorteerd op
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
11152275153ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

A · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: D · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

D · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

B · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 15

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 1
C (1): B: 6, G: 16
B (6): D: 8, G: 11
D (8): E: 10, F: 15
E (10)
G (11)
F (15)

Kortste pad

A → C → B → D → F
d(F) = 15

Antwoord

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms