Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het algoritme van Strassen vermenigvuldigt matrices met 7 in plaats van 8 recursieve vermenigvuldigingen van blokken van halve grootte. Wat is de looptijd?

  1. AΘ(n2)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. A√n
  2. Bn (hij wordt een gekoppelde lijst)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe hebben geen herbalancering nodig
  2. BZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  3. CZe slaan data ongesorteerd op
  4. DHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
112057910614ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

A · O(1)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81

Waarom dit het antwoord is

Met a = 7 en b = 2 domineert nlog₂ 7 het O(n²)-optelwerk, wat ongeveer n2,81 geeft.

Antwoord

D · Θ(nlog₂ 7), ongeveer n2,81
3.Datastructuren

Antwoord: B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 18

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Antwoord

L = 18

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 38

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BC (5): nemen
EF (6): nemen
BD (7): nemen
CE (9): nemen
DE (10): overslaan, sluit een cykel
AB (11): nemen

Totaal gewicht

W = 5 + 6 + 7 + 9 + 11 = 38

Antwoord

W = 38

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms