Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. ADiepte-eerst zoeken (DFS)
  2. BHet algoritme van Kruskal
  3. CBellman-Ford is in alle gevallen vereist
  4. DHet algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de tijd- en ruimtekosten van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een lus die alleen de laatste twee waarden bewaart?

  1. AO(n) tijd en O(n) ruimte
  2. BO(2ⁿ) tijd en O(1) ruimte
  3. CO(n) tijd en O(1) ruimte
  4. DO(log n) tijd en O(n) ruimte
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
  2. BVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  3. CKijk alleen naar de wortel
  4. DBezoek elk blad en vergelijk ze
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is de looptijd van breadth-first search op een graaf met V knopen die als adjacency matrix is opgeslagen?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V)
  4. DO(V²)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 34 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
73191615142ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt C. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4.

start: Ck = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

D · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n) tijd en O(1) ruimte

Waarom dit het antwoord is

Elke stap heeft alleen de twee vorige waarden nodig, dus de tabel van de bottom-upmethode kan door twee variabelen worden vervangen.

Antwoord

C · O(n) tijd en O(1) ruimte
3.Datastructuren

Antwoord: A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(V²)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V knopen doorzoekt een rij van V elementen, wat O(V²) geeft; met adjacency lists is BFS O(V + E).

Antwoord

D · O(V²)
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 16

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

Antwoord

L = 16

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (3)
2. AB (7)
3. BE (2)
4. EF (4)
5. DF (1)

kantnummer 4

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms