Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

  1. AInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
  2. BInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme
  3. CInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
  4. DRecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) doe O(1) werk?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. AEr is geen maximum
  2. B1
  3. C2
  4. D0,5
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(1 + α), waarbij α = n / m
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

C · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Het totaal is n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, en het harmonische getal Hn is Θ(log n).

Antwoord

B · O(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

B · 1
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

A · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 1

Oneven hoekpunten

A, B, D, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 3

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Antwoord

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms