Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk sorteeralgoritme is stabiel?

  1. AMergesort
  2. BHeapsort
  3. CQuicksort (gangbare in-place-versie)
  4. DSelectionsort (gangbare versie)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Kortste enkelvoudige paden kunnen in polynomiale tijd worden gevonden. Wat is bekend over het vinden van het langste enkelvoudige pad tussen twee knopen in een algemene graaf?

  1. AHet is onbeslisbaar
  2. BHet is altijd oplosbaar in O(V + E)
  3. CHet kan worden opgelost met het algoritme van Dijkstra met negatieve gewichten
  4. DHet is NP-moeilijk
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt een nieuw element in een binaire heap ingevoegd?

  1. APlaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
  2. BVoeg het op de gesorteerde positie in door alle grotere elementen één plaats naar rechts te verschuiven
  3. CBouw de hele heap opnieuw op
  4. DPlaats het in de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

  1. AOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
  2. BOmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
  3. COm de array gesorteerd te houden
  4. DOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij F? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Mergesort

Waarom dit het antwoord is

Mergesort is stabiel als het samenvoegen bij gelijke waarden eerst uit de linkerhelft neemt. In-place quicksort, heapsort en selectionsort zijn meestal niet stabiel.

Antwoord

A · Mergesort
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

Een langste enkelvoudig pad van lengte V − 1 is een hamiltonpad, een NP-volledig probleem; op gerichte acyclische grafen is het echter in lineaire tijd oplosbaar.

Antwoord

D · Het is NP-moeilijk
3.Datastructuren

Antwoord: A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

Waarom dit het antwoord is

Toevoegen aan het eind houdt de boom compleet; verwisselen met de ouder herstelt de ordening in O(log n) stappen.

Antwoord

A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
4.Datastructuren

Antwoord: D · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

D · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Oneven hoekpunten

B, C, D, E → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms