Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Quicksort gebruikt altijd het eerste element als pivot. Bij welke invoer vertoont het zijn worst-casegedrag?

  1. AEen array waarvan alle elementen verschillend zijn
  2. BEen array in willekeurige volgorde
  3. CEen array die al gesorteerd is
  4. DEen array van lengte 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) doe O(1) werk?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen hashtabel
  2. BEen ongesorteerde gekoppelde lijst
  3. CEen stack
  4. DEen gebalanceerde binaire zoekboom
4.DatastructurenMoeilijk

Een Bloom-filter kan de vraag "zit dit element in de verzameling?" beantwoorden met:

  1. AMogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
  2. BAltijd exacte antwoorden
  3. CMogelijke fout-negatieven maar geen fout-positieven
  4. DAlleen antwoorden voor getallen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
91861221511ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een array die al gesorteerd is

Waarom dit het antwoord is

Bij gesorteerde invoer is de pivot altijd het minimum, dus de ene kant is leeg en de andere heeft n − 1 elementen, wat O(n²) geeft.

Antwoord

C · Een array die al gesorteerd is
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Het totaal is n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, en het harmonische getal Hn is Θ(log n).

Antwoord

A · O(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

D · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: A · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

Waarom dit het antwoord is

Als een van de bits voor een element 0 is, ontbreekt het zeker; als ze allemaal 1 zijn, is het waarschijnlijk aanwezig. Bloom-filters ruilen nauwkeurigheid in voor heel weinig geheugen.

Antwoord

A · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 25

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 45 = 2(L + 11) − 2
L = 25

Antwoord

L = 25

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant AB

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. DF (1)
2. DE (2)
3. BC (6)
4. AB (9)
5. BE (11)

kantnummer 4

AB

Antwoord

kant AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms