Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  2. BKies de activiteit die het vroegst begint
  3. CKies eerst de kortste activiteit
  4. DKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) doe O(1) werk?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe vind je de kleinste sleutel in een binaire zoekboom?

  1. AVolg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
  2. BKijk alleen naar de wortel
  3. CVolg vanaf de wortel rechterkinderen tot er geen rechterkind meer is
  4. DBezoek elk blad en vergelijk ze
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom wordt verwijderen in een hashtabel met open adressering vaak gedaan met een "tombstone"-markering?

  1. AHet maakt de tabel gesorteerd
  2. BVerwijderde sleutels moeten om veiligheidsredenen voor altijd bewaard blijven, dus plekken kunnen nooit hergebruikt worden
  3. CTombstones versnellen het hashen
  4. DHet leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1551131353ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

A · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Het totaal is n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, en het harmonische getal Hn is Θ(log n).

Antwoord

C · O(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is

Waarom dit het antwoord is

De meest linkse knoop heeft geen kleinere sleutel in de boom, dus is hij het minimum; de kosten zijn evenredig met de hoogte.

Antwoord

A · Volg vanaf de wortel linkerkinderen tot er geen linkerkind meer is
4.Datastructuren

Antwoord: D · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken

Waarom dit het antwoord is

Als een verwijderde plek leeg zou worden, kunnen latere zoekacties te vroeg stoppen en sleutels missen die verderop in de probeerketen zijn geplaatst.

Antwoord

D · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 20

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 44 = 2(L + 13) − 2
L = 20

Antwoord

L = 20

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 1, C: 5
2. B (1)
3. C (5): E: 10, G: 8
4. G (8): D: 13
5. E (10): F: 11
6. F (11)
7. D (13)

ronde 5

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms