Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel stackruimte gebruikt een eenvoudige recursieve faculteitsfunctie fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke bewering over P en NP is juist?

  1. AEr is bewezen dat P ≠ NP
  2. BNP betekent "niet polynomiaal"
  3. CElk probleem in P zit ook in NP
  4. DOplossingen van NP-problemen kunnen niet snel worden geverifieerd
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen gebalanceerde binaire zoekboom
  2. BEen hashtabel
  3. CEen ongesorteerde gekoppelde lijst
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

Het algoritme van Kahn voor topologisch sorteren verwijdert herhaaldelijk knopen met ingraad 0. Welke structuur bevat die knopen?

  1. AEen max-heap geordend op uitgraad
  2. BEen adjacency matrix die bijhoudt welke knopen al zijn verwijderd
  3. CEen stack van alle bezochte kanten
  4. DEen queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 4, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 4
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
2855213811224ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

De recursie gaat n aanroepen diep voordat er een terugkeert, en elke aanroep heeft een stackframe nodig, dus de functie gebruikt O(n) ruimte.

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Elk probleem in P zit ook in NP

Waarom dit het antwoord is

P ⊆ NP: als je een probleem snel kunt oplossen, kun je een oplossing ook snel verifiëren. Of P = NP is nog een open vraag.

Antwoord

C · Elk probleem in P zit ook in NP
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

A · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0

Waarom dit het antwoord is

Klare knopen worden in een queue bewaard; het verwijderen van een knoop verlaagt de ingraad van zijn buren, en wie op 0 komt wordt toegevoegd, wat O(V + E) tijd geeft.

Antwoord

D · Een queue (of een willekeurige verzameling) van knopen met ingraad 0
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Antwoord

L = 6

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 15

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2, C: 8
B (2): C: 7, G: 3
G (3): D: 5, E: 7
D (5): F: 18
C (7)
E (7): F: 15
F (15)

Kortste pad

A → B → G → E → F
d(F) = 15

Antwoord

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms