Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het vermenigvuldigen van twee n × n-matrices met de standaard drievoudige lus?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom geeft binair zoeken op een enkelvoudig gelinkte lijst geen O(log n) tijd?

  1. AHet middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
  2. BBinair zoeken heeft minstens twee keer zoveel geheugen nodig
  3. CVergelijkingen op knopen van een gelinkte lijst zijn trager
  4. DGelinkte lijsten kunnen niet worden gesorteerd
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. AEr is geen maximum
  2. B2
  3. C1
  4. D0,5
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is het belangrijkste voordeel van een skiplist ten opzichte van een gesorteerde gekoppelde lijst?

  1. AHij slaat sleutels ongeordend op
  2. BHij gebruikt geen extra geheugen
  3. CGegarandeerd zoeken in O(1), omdat elke knoop een pointer naar elke andere knoop bewaart
  4. DVerwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K6? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K6
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
15382121091ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n³)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n² elementen en elk heeft n vermenigvuldigingen nodig, wat n³ bewerkingen geeft.

Antwoord

D · O(n³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is

Waarom dit het antwoord is

Binair zoeken heeft O(1)-toegang tot het midden nodig; in een gelinkte lijst kost het lopen daarheen lineaire tijd, dus het totaal is O(n).

Antwoord

A · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.Datastructuren

Antwoord: C · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

C · 1
4.Datastructuren

Antwoord: D · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

Waarom dit het antwoord is

Willekeurige niveaus laten zoekacties veel knopen overslaan, wat verwacht O(log n) oplevert voor zoeken, invoegen en verwijderen.

Antwoord

D · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60
6.Grafentheorie

Antwoord: kant EF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. BE (1)
2. CE (2)
3. BD (8)
4. EF (9)
5. AB (15)

kantnummer 4

EF

Antwoord

kant EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms