Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel stackruimte gebruikt een eenvoudige recursieve faculteitsfunctie fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe verhouden n! en 2ⁿ zich voor grote n?

  1. AZe groeien even snel
  2. Bn! is O(n²)
  3. Cn! groeit sneller dan 2ⁿ
  4. D2ⁿ groeit sneller dan n!
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom kan een binaire heap zonder pointers in een array worden opgeslagen?

  1. AAlle sleutels in een heap zijn gelijk
  2. BHet is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
  3. CHeaps bevatten nooit meer dan 100 elementen
  4. DArrays houden sleutels automatisch gesorteerd, dus er zijn geen pointers nodig
4.DatastructurenMoeilijk

Welke uitspraak over heapsort is juist?

  1. AHet draait op elke invoer in O(n) tijd
  2. BHet heeft een binaire zoekboom nodig als extra opslag, dus het gebruikt O(n) extra geheugen
  3. CHet is stabiel en heeft O(n) extra geheugen nodig
  4. DHet sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
8376104910ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

De recursie gaat n aanroepen diep voordat er een terugkeert, en elke aanroep heeft een stackframe nodig, dus de functie gebruikt O(n) ruimte.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · n! groeit sneller dan 2ⁿ

Waarom dit het antwoord is

Voor n ≥ 4 is n! groter dan 2ⁿ, en de verhouding groeit onbegrensd, omdat elke extra factor van n! groter is dan 2.

Antwoord

C · n! groeit sneller dan 2ⁿ
3.Datastructuren

Antwoord: B · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules

Waarom dit het antwoord is

Compleetheid betekent dat er geen gaten zijn, dus de kinderen van index i staan altijd op 2i + 1 en 2i + 2.

Antwoord

B · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.Datastructuren

Antwoord: D · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel

Waarom dit het antwoord is

Heapsort bouwt een max-heap en haalt binnen dezelfde array n keer het maximum eruit; verwisselingen over grote afstanden kunnen gelijke sleutels van volgorde veranderen.

Antwoord

D · Het sorteert ter plaatse in O(n log n) in het slechtste geval, maar is niet stabiel
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Oneven hoekpunten

A, E → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 8, C: 3
2. C (3): E: 9
3. B (8): D: 15
4. E (9): F: 18
5. D (15)
6. F (18)

ronde 4

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms