Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat meet geamortiseerde analyse?

  1. ADe gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
  2. BDe kosten van de ene duurste bewerking ergens in de reeks
  3. CDe kosten van een algoritme bij de beste invoer
  4. DDe verwachte kosten over willekeurige invoer
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. AJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  2. BJa, want beide zijn exponentieel
  3. CNee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
  4. DNee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt een nieuw element in een binaire heap ingevoegd?

  1. APlaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
  2. BBouw de hele heap opnieuw op
  3. CPlaats het in de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  4. DVoeg het op de gesorteerde positie in door alle grotere elementen één plaats naar rechts te verschuiven
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
  2. BB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
  3. CB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
  4. DB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 14 hoekpunten en 22 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 14|E| = 22
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen

Waarom dit het antwoord is

Geamortiseerde analyse spreidt de kosten van zeldzame dure bewerkingen over veel goedkope, wat een gegarandeerd gemiddelde geeft voor elke reeks.

Antwoord

A · De gemiddelde kosten per bewerking over een worst-casereeks van bewerkingen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

C · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt

Waarom dit het antwoord is

Toevoegen aan het eind houdt de boom compleet; verwisselen met de ouder herstelt de ordening in O(log n) stappen.

Antwoord

A · Plaats het aan het eind van de array en laat het omhoog zakken (sift up) zolang het de heap-eigenschap schendt
4.Datastructuren

Antwoord: A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

A · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

14 − 1 = 13

Te verwijderen kanten

k = 22 − 13 = 9

Antwoord

k = 9
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 3

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Antwoord

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms