Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 1,000
  2. BOngeveer 500,000
  3. COngeveer 100
  4. DOngeveer 20
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de geamortiseerde kosten van het ophogen van een binaire teller, als één ophoging veel bits kan omzetten?

  1. AO(log n) per ophoging
  2. BO(n log n) per ophoging
  3. CO(n) per ophoging
  4. DO(1) per ophoging
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen hashtabel
  2. BEen gebalanceerde binaire zoekboom
  3. CEen ongesorteerde gekoppelde lijst
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

Welk probleem van linear probing vermindert double hashing vooral?

  1. ADe noodzaak om sleutels in de tabel op te slaan
  2. BDe noodzaak van een hashfunctie
  3. CDe O(n)-kosten van het lezen van de waarde van een sleutel
  4. DPrimaire clustering, waarbij lange reeksen bezette plaatsen ontstaan
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
14777246ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

D · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(1) per ophoging

Waarom dit het antwoord is

Over n ophogingen wisselt bit i ongeveer n / 2ⁱ keer, dus het totaal is minder dan 2n bitwisselingen, gemiddeld O(1) per ophoging.

Antwoord

D · O(1) per ophoging
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

B · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: D · Primaire clustering, waarbij lange reeksen bezette plaatsen ontstaan

Waarom dit het antwoord is

Linear probing zet stappen van 1, zodat bezette reeksen groeien en samensmelten; double hashing gebruikt een tweede hash voor de stapgrootte, zodat verschillende sleutels verschillende reeksen aftasten.

Antwoord

D · Primaire clustering, waarbij lange reeksen bezette plaatsen ontstaan
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: C

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 1, C: 4
2. B (1): D: 8
3. C (4): E: 11
4. D (8): E: 10, F: 12
5. E (10)
6. F (12)

ronde 3

C

Antwoord

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms