Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een functie voert één lus van n iteraties uit en daarna, los daarvan, nog een lus van n iteraties. Wat is de tijdcomplexiteit?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de looptijd van het algoritme van Dijkstra met een binaire heap op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V³)
  2. BO(V + E)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V × E)
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AEen stack
  2. BEen queue
  3. CAlleen een hashtabel
  4. DEen heap
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

  1. ADe wortel moet rood zijn
  2. BElke knoop moet rood zijn
  3. CRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
  4. DElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 10 hoekpunten en 19 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 10|E| = 19
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
115910155213ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

n + n = 2n, en constante factoren vallen weg, dus de functie is O(n).

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O((V + E) log V)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn V extract-min- en hoogstens E decrease-keybewerkingen, elk O(log V); een Fibonacci-heap verbetert dit tot O(E + V log V).

Antwoord

C · O((V + E) log V)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

A · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

D · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 10

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

10 − 1 = 9

Te verwijderen kanten

k = 19 − 9 = 10

Antwoord

k = 10
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 23

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 5
C (5): E: 20
B (11): D: 21
E (20)
D (21): F: 23
F (23)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 23

Antwoord

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms