Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

AHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
BLogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
CAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
DLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het stopprobleem (halting problem) laat zien dat:

ALussen vermeden moeten worden
BElk programma uiteindelijk stopt
CSommige programma's sneller draaien op snellere computers, dus stoppen hangt van de hardware af
DGeen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

3.DatastructurenGemiddeld

Bij welke methode voor het oplossen van botsingen worden botsende sleutels in een lijst in dezelfde bucket opgeslagen?

ALineair proberen (linear probing)
BKwadratisch proberen (quadratic probing)
CSeparate chaining (ketenen)
DDubbel hashen (double hashing)

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

AZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
BZe hebben geen herbalancering nodig
CHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
DZe slaan data ongesorteerd op

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

B · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

Waarom dit het antwoord is

Turing toonde aan dat het stopprobleem onbeslisbaar is: aannemen dat er een beslisser bestaat, leidt tot een tegenspraak met een programma dat precies het tegenovergestelde doet.

Antwoord

D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

3.Datastructuren

Antwoord: C · Separate chaining (ketenen)

Waarom dit het antwoord is

Chaining houdt per bucket een gekoppelde lijst (of een andere structuur) bij; open adressering zoekt een andere vrije plek in de tabel zelf.

Antwoord

C · Separate chaining (ketenen)

4.Datastructuren

Antwoord: C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 13, C: 15

2. B (13): D: 26, E: 14

3. E (14): D: 22, F: 19

4. C (15)

5. F (19)

6. D (22)

ronde 3

Antwoord

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms