Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. ABinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
  2. BEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
  3. CElke vergelijking kost logaritmische tijd
  4. DElk element moet minstens één keer worden vergeleken
3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de preorder-doorloop?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 5 2 3 1
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe verbetert een radix tree (gecomprimeerde trie) een gewone trie?

  1. AHij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
  2. BHij slaat elk woord op in een hashtabel bij de wortel in plaats van in aparte knopen
  3. CHij bewaart alleen de eerste letter van elk woord
  4. DHij sorteert de kinderen van elke knoop op frequentie
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1051026131411210ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Het aantal aanroepen verdubbelt per niveau en er zijn n niveaus, dus het totaal is ongeveer 2ⁿ, zoals bij de Torens van Hanoi.

Antwoord

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: B · 1 2 4 5 3

Waarom dit het antwoord is

Preorder bezoekt 1, dan zijn linkersubboom (2, 4, 5), dan 3; de andere opties zijn inorder, postorder en level-order.

Antwoord

B · 1 2 4 5 3
4.Datastructuren

Antwoord: A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label

Waarom dit het antwoord is

Het samenvoegen van paden zonder vertakking vermindert het aantal knopen en het geheugengebruik, terwijl zoeken op prefix mogelijk blijft.

Antwoord

A · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

B, F → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 30

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 10
B (10): C: 15, D: 20, G: 24
C (15): E: 17, G: 16
G (16)
E (17): F: 30
D (20)
F (30)

Kortste pad

A → B → C → E → F
d(F) = 30

Antwoord

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms