Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Breedte-eerst zoeken (BFS) op een ongewogen graaf vindt:

  1. AEen topologische volgorde in alle grafen
  2. BKortste paden in grafen met negatieve kantgewichten
  3. CDe minimaal opspannende boom
  4. DKortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zou er volgen als iemand een algoritme in polynomiale tijd vond voor één NP-volledig probleem?

  1. AHet stopprobleem zou beslisbaar worden
  2. BAlle algoritmen met exponentiële tijd zouden meteen in lineaire tijd lopen
  3. CElk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
  4. DAlleen dat ene probleem zou naar P verhuizen
3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de postorder-doorloop?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C5 4 3 2 1
  4. D1 2 4 5 3
4.DatastructurenMoeilijk

Je wilt voor elk element van een array het volgende grotere element rechts ervan vinden, in totaal O(n) tijd. Welke structuur helpt?

  1. AEen hashtabel van alle elementen
  2. BEen queue die elk paar elementen bevat
  3. CEen stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
  4. DEen binaire zoekboom die voor elk element opnieuw wordt opgebouwd
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
14751382114623ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop

Waarom dit het antwoord is

BFS bezoekt knopen in volgorde van afstand (in kanten) tot de bron en vindt daardoor kortste ongewogen paden in O(V + E).

Antwoord

D · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP

Waarom dit het antwoord is

Omdat heel NP in polynomiale tijd reduceert tot elk NP-volledig probleem, geeft een snel algoritme voor één ervan een snel algoritme voor alle.

Antwoord

C · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.Datastructuren

Antwoord: B · 4 5 2 3 1

Waarom dit het antwoord is

Postorder verwerkt 4 en 5 vóór 2, dan 3, en ten slotte de wortel 1.

Antwoord

B · 4 5 2 3 1
4.Datastructuren

Antwoord: C · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten

Waarom dit het antwoord is

Loop van links naar rechts, pop elk element op de stack dat kleiner is dan het huidige (het huidige element is hun antwoord) en push dan het huidige; elk element wordt hoogstens twee keer verplaatst.

Antwoord

C · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 16

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 30 = 2(L + 8) − 2
L = 16

Antwoord

L = 16

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 24

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 14
C (14): B: 21, E: 27, G: 20
G (20): D: 22, E: 23
B (21)
D (22): F: 24
E (23)
F (24)

Kortste pad

A → C → G → D → F
d(F) = 24

Antwoord

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms