Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

  1. AAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
  2. BLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen
  3. CLogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
  4. DHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) doe O(1) werk?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.DatastructurenGemiddeld

Welk abstract datatype gebruikt het algoritme van Dijkstra om de volgende te verwerken knoop te kiezen?

  1. AEen min-prioriteitswachtrij
  2. BEen stack
  3. CEen FIFO-queue
  4. DEen set zonder ordening
4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

  1. ADe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert
  2. BEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
  3. CHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
  4. DDe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K5? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K5
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
41512810144ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

C · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Het totaal is n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, en het harmonische getal Hn is Θ(log n).

Antwoord

D · O(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een min-prioriteitswachtrij

Waarom dit het antwoord is

Een min-prioriteitswachtrij, meestal een binaire heap, geeft efficiënt de onbezochte knoop met de kleinste afstand terug.

Antwoord

A · Een min-prioriteitswachtrij
4.Datastructuren

Antwoord: C · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

C · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 12

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwoord

H = 12
6.Grafentheorie

Antwoord: D

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 4, C: 1
2. C (1): E: 9
3. B (4): D: 16, E: 8
4. E (8): F: 22
5. D (16)
6. F (22)

ronde 5

D

Antwoord

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms