Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe verhouden n! en 2ⁿ zich voor grote n?

  1. A2ⁿ groeit sneller dan n!
  2. Bn! groeit sneller dan 2ⁿ
  3. CZe groeien even snel
  4. Dn! is O(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AAdjacency list
  2. BEen binaire heap van kanten
  3. CAdjacency matrix
  4. DEén gesorteerde array van knopen
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  2. BZe slaan data ongesorteerd op
  3. CHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
  4. DZe hebben geen herbalancering nodig
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
105136101331214ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Het werk telt op tot ongeveer n² / 2; dit is de recurrente betrekking van selection sort of van quicksort met de slechtste pivot.

Antwoord

D · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · n! groeit sneller dan 2ⁿ

Waarom dit het antwoord is

Voor n ≥ 4 is n! groter dan 2ⁿ, en de verhouding groeit onbegrensd, omdat elke extra factor van n! groter is dan 2.

Antwoord

B · n! groeit sneller dan 2ⁿ
3.Datastructuren

Antwoord: A · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

A · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

C · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 18

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Antwoord

L = 18

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 19

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 10, C: 5
C (5): E: 15
B (10): D: 16
E (15): F: 27
D (16): F: 19
F (19)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 19

Antwoord

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms