Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Insertion sort loopt in O(n) op gesorteerde invoer. Is dit in tegenspraak met de ondergrens Ω(n log n) voor sorteren met vergelijkingen?

  1. AJa, de ondergrens is dus fout
  2. BNee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
  3. CNee, omdat insertion sort geen sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen is
  4. DJa, maar alleen voor arrays korter dan 100
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt een draaiend programma om actieve functieaanroepen en hun lokale variabelen bij te houden?

  1. ADe call stack
  2. BDe wachtrij van het heapgeheugen
  3. CEen hashtabel van functies
  4. DEen binaire zoekboom van frames
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

  1. ASla elke bezochte knoop op in een hash-set
  2. BSorteer de lijst en zoek naar duplicaten
  3. CTel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
  4. DVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 13 hoekpunten en 15 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
131145218151ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Het aantal aanroepen verdubbelt per niveau en er zijn n niveaus, dus het totaal is ongeveer 2ⁿ, zoals bij de Torens van Hanoi.

Antwoord

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer

Waarom dit het antwoord is

De grens zegt dat elk sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen op een of andere invoer van grootte n ongeveer n log n vergelijkingen nodig heeft; speciale invoeren kunnen veel sneller zijn.

Antwoord

B · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.Datastructuren

Antwoord: A · De call stack

Waarom dit het antwoord is

Elke aanroep pusht een stackframe en elke return popt het, daarom wordt de meest recente aanroep als eerste afgerond.

Antwoord

A · De call stack
4.Datastructuren

Antwoord: D · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

D · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

13 − 1 = 12

Te verwijderen kanten

k = 15 − 12 = 3

Antwoord

k = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13, C: 1
C (1): G: 9
G (9): B: 10, D: 24, E: 10
B (10)
E (10): D: 15, F: 12
F (12)
D (15)

Kortste pad

A → C → G → E → F
d(F) = 12

Antwoord

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms