Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. ACircuitvervulbaarheid
  2. B2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
  3. C3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
  4. DAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AAlleen een hashtabel
  2. BEen queue
  3. CEen heap
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

  1. AElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
  2. BDe wortel moet rood zijn
  3. CElke knoop moet rood zijn
  4. DRode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
121411111441114ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 5 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

C · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

D · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: A · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

A · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 14

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Antwoord

L = 14

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: E

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 12, C: 14
2. B (12): D: 13, E: 26
3. D (13): F: 17
4. C (14): E: 15
5. E (15)
6. F (17)

ronde 5

E

Antwoord

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms