Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het algoritme van Bellman-Ford op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  3. Cn = o(n²), maar n is niet o(n)
  4. D2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe wordt in een circulaire queue in een array met capaciteit n de volgende positie na index i berekend?

  1. A(i − 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. AStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
  2. BEen stack te implementeren
  3. CDe kanten van een graaf op te slaan
  4. DBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 15 hoekpunten en 24 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 15|E| = 24
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
152765413ABCDE

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt A. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3.

start: Ak = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(V × E)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V − 1 rondes relaxeert alle E kanten, wat O(VE) geeft; in ruil daarvoor kan het negatieve kantgewichten aan.

Antwoord

A · O(V × E)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

C · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: C · (i + 1) mod n

Waarom dit het antwoord is

De modulo-bewerking laat index n − 1 terugspringen naar 0, zodat de array wordt hergebruikt zonder elementen te verschuiven.

Antwoord

C · (i + 1) mod n
4.Datastructuren

Antwoord: D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

D · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 10

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

15 − 1 = 14

Te verwijderen kanten

k = 24 − 14 = 10

Antwoord

k = 10
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AC (2)
2. CE (5)
3. DE (4)
4. BD (6)

kantnummer 3

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms