Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De tijdcomplexiteit van naïef recursief Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) is:

  1. AConstant
  2. BLineair
  3. CExponentieel
  4. DLogaritmisch
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

  1. AQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
  2. BSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden
  3. CQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
  4. DSelectie is alleen mogelijk in O(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  2. BVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  3. CVerwijder het laatste element van de array
  4. DVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
4.DatastructurenMoeilijk

De sleutels 5, 3, 8, 1 worden in deze volgorde in een lege, op een array gebaseerde binaire min-heap ingevoegd. Wat is de uiteindelijke array?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
41441481564153ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Exponentieel

Waarom dit het antwoord is

De aanroepboom groeit ongeveer als φⁿ (ongeveer 1,618ⁿ). Memoisatie brengt dit terug tot O(n).

Antwoord

C · Exponentieel
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.Datastructuren

Antwoord: B · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

B · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: B · [1, 3, 8, 5]

Waarom dit het antwoord is

Na 5, 3, 8 is de array [3, 5, 8]; 1 komt op index 3, wisselt met zijn ouder 5 en daarna met 3, wat [1, 3, 8, 5] geeft.

Antwoord

B · [1, 3, 8, 5]
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Oneven hoekpunten

A, B, D, E → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 4, C: 14
B (4): D: 8, G: 8
D (8): E: 16, F: 23
G (8): E: 11
E (11): F: 17
C (14)
F (17)

Kortste pad

A → B → G → E → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms