Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Breedte-eerst zoeken (BFS) op een ongewogen graaf vindt:

  1. AKortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
  2. BEen topologische volgorde in alle grafen
  3. CDe minimaal opspannende boom
  4. DKortste paden in grafen met negatieve kantgewichten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het 0/1-knapzakprobleem opgelost met dynamisch programmeren kost O(nW) tijd. Waarom heet dit pseudo-polynomiaal?

  1. AOmdat n altijd klein is
  2. BOmdat het algoritme gerandomiseerd is en de looptijd per invoer verschilt
  3. CW is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
  4. DOmdat het alleen werkt voor W = 0
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. AEr is geen maximum
  2. B2
  3. C1
  4. D0,5
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom worden B-bomen gebruikt in databases en bestandssystemen?

  1. AZe hebben geen herbalancering nodig
  2. BZe slaan data ongesorteerd op
  3. CZe gebruiken minder geheugen dan welke array dan ook, dus de hele index past altijd in het werkgeheugen
  4. DHun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van E naar A? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop

Waarom dit het antwoord is

BFS bezoekt knopen in volgorde van afstand (in kanten) tot de bron en vindt daardoor kortste ongewogen paden in O(V + E).

Antwoord

A · Kortste paden in aantal kanten vanaf de startknoop
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd

Waarom dit het antwoord is

De looptijd is polynomiaal in de waarde van W maar exponentieel in de lengte ervan (log W bits); het 0/1-knapzakprobleem is NP-volledig.

Antwoord

C · W is een getal, dus de tijd is exponentieel in het aantal bits waarmee W wordt genoteerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

C · 1
4.Datastructuren

Antwoord: D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert

Waarom dit het antwoord is

B-bomen slaan veel sleutels per knoop op, dus de hoogte is klein en per zoekactie zijn weinig bloklezingen nodig; B+-bomen koppelen daarnaast de bladeren voor bereikscans.

Antwoord

D · Hun hoge vertakkingsgraad houdt de boom ondiep, wat trage schijflezingen vermindert
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 18

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

Antwoord

L = 18

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)EA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms