Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Dynamisch programmeren is nuttig wanneer een probleem het volgende heeft:

  1. AEén enkele lus
  2. BAlleen willekeurige invoer
  3. COverlappende deelproblemen en optimale substructuur
  4. DHelemaal geen deelproblemen, dus het kan in één stap worden opgelost
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke bewering over P en NP is juist?

  1. AEr is bewezen dat P ≠ NP
  2. BNP betekent "niet polynomiaal"
  3. CElk probleem in P zit ook in NP
  4. DOplossingen van NP-problemen kunnen niet snel worden geverifieerd
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen graafdoorloop
  2. BEen wachtrij met vaste grootte
  3. CEen hashfunctie
  4. DEen binaire zoekboom
4.DatastructurenMoeilijk

Welk paar doorlopen bepaalt altijd een unieke binaire boom met verschillende sleutels?

  1. AAlleen level-order
  2. BPreorder en postorder
  3. CPreorder en inorder
  4. DAlleen preorder
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, 3 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
15161837514ABCDE

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur

Waarom dit het antwoord is

Het opslaan van resultaten van overlappende deelproblemen (memoisatie of tabulatie) voorkomt herhaald werk en maakt van exponentiële algoritmen polynomiale.

Antwoord

C · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Elk probleem in P zit ook in NP

Waarom dit het antwoord is

P ⊆ NP: als je een probleem snel kunt oplossen, kun je een oplossing ook snel verifiëren. Of P = NP is nog een open vraag.

Antwoord

C · Elk probleem in P zit ook in NP
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

B · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: C · Preorder en inorder

Waarom dit het antwoord is

Preorder geeft de wortel, en zijn positie in de inorder-reeks splitst de linker- en rechtersubboom; preorder met postorder is dubbelzinnig als een knoop één kind heeft.

Antwoord

C · Preorder en inorder
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 22

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Antwoord

L = 22

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. BD (3)
2. DE (5)
3. CE (7)
4. AB (15)

kantnummer 2

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms