Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een bottom-uptabel?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom kan het algoritme van Dijkstra verkeerde resultaten geven als sommige kantgewichten negatief zijn?

  1. AHet werkt alleen op ongerichte grafen
  2. BEen knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
  3. CHet raakt bij elke negatieve kant in een oneindige lus
  4. DNegatieve getallen kunnen niet in een prioriteitswachtrij worden opgeslagen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  2. BVerwijder het laatste element van de array
  3. CZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  4. DVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

  1. ADe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert
  2. BDe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
  3. CEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
  4. DHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K8? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K8
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
113118151410ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het vullen van de tabel van 0 tot n kost één optelling per element, dus het werk is lineair in plaats van exponentieel.

Antwoord

B · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

Waarom dit het antwoord is

De gulzige stap rekent op niet-negatieve gewichten, zodat uitgehaalde afstanden definitief zijn; Bellman-Ford wordt gebruikt als gewichten negatief kunnen zijn.

Antwoord

B · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
3.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

D · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 2520

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwoord

H = 2520
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 20

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 1
C (1): B: 2, E: 12
B (2): D: 5
D (5): F: 20
E (12)
F (20)

Kortste pad

A → C → B → D → F
d(F) = 20

Antwoord

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms