Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke twee dingen moeten worden aangetoond om te bewijzen dat een beslissingsprobleem X NP-volledig is?

  1. AX zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
  2. BX heeft geen polynomiaal algoritme, en X is beslisbaar
  3. CX zit in P, en X reduceert tot SAT
  4. DX reduceert tot een probleem in P, en X zit in NP
3.DatastructurenGemiddeld

Een queue wordt geïmplementeerd met twee stacks: push op een "in"-stack en pop van een "out"-stack, die vanuit "in" wordt bijgevuld als hij leeg is. Wat zijn de geamortiseerde kosten per bewerking?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.DatastructurenMoeilijk

Een segmentboom (segment tree) wordt doorgaans gebruikt om:

  1. AEen stack te implementeren
  2. BBereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
  3. CStrings alfabetisch te sorteren door elk voorvoegsel in een aparte boomknoop op te slaan
  4. DDe kanten van een graaf op te slaan
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 11 hoekpunten en 16 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 11|E| = 16
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
31258935112ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 4 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Het aantal aanroepen verdubbelt per niveau en er zijn n niveaus, dus het totaal is ongeveer 2ⁿ, zoals bij de Torens van Hanoi.

Antwoord

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X

Waarom dit het antwoord is

Lidmaatschap van NP laat zien dat X niet moeilijker is dan NP; de reductie vanuit een bekend NP-volledig probleem laat zien dat X minstens zo moeilijk is als heel NP.

Antwoord

A · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
3.Datastructuren

Antwoord: B · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Elk element wordt in totaal hoogstens twee keer gepusht en gepopt, dus hoewel één keer bijvullen O(n) kan kosten, is het gemiddelde over een reeks O(1).

Antwoord

B · O(1)
4.Datastructuren

Antwoord: B · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden

Waarom dit het antwoord is

Een segmentboom slaat aggregaten voor intervallen op en ondersteunt bereikquery's en puntupdates in O(log n) tijd.

Antwoord

B · Bereikquery's (zoals bereiksommen) en updates in O(log n) te beantwoorden
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 6

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

11 − 1 = 10

Te verwijderen kanten

k = 16 − 10 = 6

Antwoord

k = 6
6.Grafentheorie

Antwoord: D

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 3, C: 12
2. B (3): C: 8, D: 11
3. C (8): E: 17
4. D (11): E: 14, F: 16, G: 12
5. G (12)
6. E (14)
7. F (16)

ronde 4

D

Antwoord

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms