Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
  2. BHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  3. CEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  4. DElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Zit 22n in O(2ⁿ)?

  1. ANee, want 22n groeit langzamer dan 2ⁿ
  2. BJa, want constante factoren in de exponent worden in grote O altijd genegeerd
  3. CJa, want beide zijn exponentieel
  4. DNee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel geheugen gebruikt een adjacency list voor een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.DatastructurenMoeilijk

Een Bloom-filter kan de vraag "zit dit element in de verzameling?" beantwoorden met:

  1. AAltijd exacte antwoorden
  2. BAlleen antwoorden voor getallen
  3. CMogelijke fout-negatieven maar geen fout-positieven
  4. DMogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel wandelingen van lengte 3 gaan van D naar F? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 3
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

C · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd

Waarom dit het antwoord is

Een constante die bij de exponent wordt opgeteld, geeft een constante factor, maar een constante die de exponent vermenigvuldigt, verandert het grondtal en de groeisnelheid.

Antwoord

D · Nee, want 22n = 4ⁿ en 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ groeit onbegrensd
3.Datastructuren

Antwoord: B · O(V + E)

Waarom dit het antwoord is

Elke knoop heeft een lijst en elke kant komt één keer (gericht) of twee keer (ongericht) voor, wat O(V + E) geeft.

Antwoord

B · O(V + E)
4.Datastructuren

Antwoord: D · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven

Waarom dit het antwoord is

Als een van de bits voor een element 0 is, ontbreekt het zeker; als ze allemaal 1 zijn, is het waarschijnlijk aanwezig. Bloom-filters ruilen nauwkeurigheid in voor heel weinig geheugen.

Antwoord

D · Mogelijke fout-positieven maar geen fout-negatieven
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 3

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Nog één stap

(M³)DF = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 1·1 + 1·0 = 3

Antwoord

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms