Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van het opbouwen van een binaire heap uit n ongesorteerde elementen met de bottom-upmethode?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
3.DatastructurenGemiddeld

In een binaire min-heap die in een array is opgeslagen (index begint bij 0), staan de kinderen van de knoop op index i op:

  1. A2i en 2i + 1
  2. B2i + 1 en 2i + 2
  3. Ci + 1 en i + 2
  4. Di/2 en i/2 + 1
4.DatastructurenMoeilijk

Welke eigenschap houdt elke B-boom perfect gebalanceerd?

  1. AElke knoop slaat één sleutel op
  2. BDe sleutels worden alleen in de wortel opgeslagen
  3. CElke knoop heeft precies twee kinderen
  4. DAlle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 3
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
85182171461979ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt D. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4.

start: Dk = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant BC
  3. 3kant BD
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant EF
  7. 7kant GB
  8. 8kant GC
  9. 9kant GD
  10. 10kant GE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n niveaus met elk constant werk, zoals bij een recursieve som van een array.

Antwoord

D · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Het optellen van de sift-down-kosten over alle niveaus levert een convergente reeks op, dus heapify draait in lineaire tijd.

Antwoord

B · O(n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · 2i + 1 en 2i + 2

Waarom dit het antwoord is

Bij arrays met indexering vanaf 0 staat het linkerkind op 2i + 1, het rechterkind op 2i + 2 en de ouder op ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwoord

B · 2i + 1 en 2i + 2
4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte

Waarom dit het antwoord is

Knopen splitsen naar boven als ze vol zijn en de boom wordt alleen hoger als de wortel splitst, dus alle bladeren blijven altijd op hetzelfde niveau.

Antwoord

D · Alle bladeren liggen op dezelfde diepte
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Antwoord

L = 4

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant CE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. GD (7)
2. GB (6)
3. BC (5)
4. CE (2)
5. AB (8)
6. EF (14)

kantnummer 4

CE

Antwoord

kant CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms