Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de geamortiseerde tijdcomplexiteit van een element toevoegen aan het einde van een dynamische array die zijn capaciteit verdubbelt als hij vol is?

AO(1)
BO(n)
CO(n²)
DO(log n)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

ABinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
BElke vergelijking kost logaritmische tijd
CElk element moet minstens één keer worden vergeleken
DEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

AGetallen sorteren
BKortste paden vinden
CZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
DMatrices opslaan

4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

AOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
BOmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
COm de array gesorteerd te houden
DOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven

5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K₄? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K₄

H =

6.GrafentheorieMoeilijk

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(C) van het kortste pad van A naar C in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: C

d(C) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Alle elementen worden alleen bij machten van twee gekopieerd; verdeeld over alle toevoegingen zijn de gemiddelde kosten per toevoeging constant.

Antwoord

A · O(1)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

3.Datastructuren

Antwoord: C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

4.Datastructuren

Antwoord: A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

A · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3

6.Grafentheorie

Antwoord: d(C) = 20

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13

B (13): C: 20, D: 16, G: 17

D (16): E: 23, F: 21

G (17)

C (20)

F (21)

E (23)

Kortste pad

A → B → C

d(C) = 20

Antwoord

d(C) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms