Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  2. BHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  3. CElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  4. DHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

  1. AAltijd zijn rechterkind
  2. BDe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
  3. CAltijd zijn ouder
  4. DDe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(1 + α), waarbij α = n / m
  2. BO(m)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 20 hoekpunten en 28 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 20|E| = 28
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
11381153438ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Θ(n log² n)

Waarom dit het antwoord is

Niveau k doet ongeveer n log(n / 2ᵏ) werk, en optellen over log n niveaus geeft Θ(n log² n), het uitgebreide tweede geval van het mastertheorema.

Antwoord

C · Θ(n log² n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

B · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

A · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 9

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

20 − 1 = 19

Te verwijderen kanten

k = 28 − 19 = 9

Antwoord

k = 9
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 13
B (1): C: 9, G: 4
G (4): C: 8, D: 7, E: 12
D (7): F: 12
C (8)
E (12)
F (12)

Kortste pad

A → B → G → D → F
d(F) = 12

Antwoord

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms