Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke grens is juist voor log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.DatastructurenGemiddeld

In een binaire min-heap die in een array is opgeslagen (index begint bij 0), staan de kinderen van de knoop op index i op:

  1. A2i + 1 en 2i + 2
  2. Bi/2 en i/2 + 1
  3. Ci + 1 en i + 2
  4. D2i en 2i + 1
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke regel moeten hash en gelijkheid voldoen om een hashtabel correct te laten werken?

  1. AVerschillende sleutels moeten verschillende hashwaarden hebben
  2. BGelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
  3. CGelijke hashwaarden impliceren gelijke sleutels
  4. DHashwaarden moeten priemgetallen zijn
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
4212521341510ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

B · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Θ(n log n)

Waarom dit het antwoord is

log(n!) ≤ n log n, en de grootste n / 2 factoren geven log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); daarom heeft sorteren met vergelijkingen Ω(n log n) nodig.

Antwoord

A · Θ(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · 2i + 1 en 2i + 2

Waarom dit het antwoord is

Bij arrays met indexering vanaf 0 staat het linkerkind op 2i + 1, het rechterkind op 2i + 2 en de ouder op ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwoord

A · 2i + 1 en 2i + 2
4.Datastructuren

Antwoord: B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben

Waarom dit het antwoord is

Als twee gelijke sleutels verschillend zouden hashen, zouden ze in verschillende buckets worden opgeslagen en zouden lookups mislukken; ongelijke sleutels mogen wel een hash delen.

Antwoord

B · Gelijke sleutels moeten gelijke hashwaarden hebben
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

B, D, E, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 13

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 4, C: 2
C (2): E: 4
B (4): D: 9
E (4): F: 19
D (9): F: 13
F (13)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 13

Antwoord

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms