Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. ABellman-Ford is in alle gevallen vereist
  2. BHet algoritme van Dijkstra
  3. CHet algoritme van Kruskal
  4. DDiepte-eerst zoeken (DFS)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. AElke vergelijking kost logaritmische tijd
  2. BElk element moet minstens één keer worden vergeleken
  3. CBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
  4. DEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.DatastructurenGemiddeld

Een trie (prefixboom) is bijzonder efficiënt voor:

  1. AMatrices opslaan
  2. BKortste paden vinden
  3. CZoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
  4. DGetallen sorteren
4.DatastructurenMoeilijk

Door het invoegen van een sleutel in een AVL-boom wordt de linkersubboom van een knoop te hoog, en de nieuwe sleutel kwam in de linkersubboom van zijn linkerkind (left-left-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen linksrotatie bij het kind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  2. BEen enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  3. CHet opnieuw kleuren van de knoop en zijn kind
  4. DEen enkele linksrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 3 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
3201517671219ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 2; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 2
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

B · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

D · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen

Waarom dit het antwoord is

Tries slaan strings teken voor teken op langs paden, dus opzoeken en prefixquery's kosten tijd evenredig met de lengte van de sleutel.

Antwoord

C · Zoeken op prefix, zoals automatisch aanvullen
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop

Waarom dit het antwoord is

In het left-left-geval tilt één rechtsrotatie het linkerkind omhoog en herstelt de balans; zigzaggevallen vereisen een dubbele rotatie.

Antwoord

B · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 17

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 37 = 2(L + 11) − 2
L = 17

Antwoord

L = 17

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant CE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AB (3)
2. CE (6)
3. DE (7)
4. DF (12)
5. BC (15)

kantnummer 2

CE

Antwoord

kant CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms