Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

In een gesorteerde array zoek je twee elementen die samen een doelwaarde opleveren door vanaf elk uiteinde een pointer naar binnen te bewegen. Wat is de tijdcomplexiteit?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse P is juist?

  1. AProblemen die op elke computer exponentiële tijd nodig hebben
  2. BProblemen die parallel kunnen worden opgelost
  3. CProblemen waarvan oplossingen wel kunnen worden gecontroleerd maar nooit in polynomiale tijd gevonden
  4. DBeslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

  1. AAltijd zijn ouder
  2. BDe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
  3. CAltijd zijn rechterkind
  4. DDe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1019121484313ABCDEF

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt B. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5.

start: Bk = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Is de som te klein, dan gaat de linkerpointer naar rechts; is ze te groot, dan gaat de rechterpointer naar links. Er zijn dus hoogstens n stappen.

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Beslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost

Waarom dit het antwoord is

P bevat beslissingsproblemen met een deterministisch algoritme in polynomiale tijd, zoals controleren of een graaf samenhangend is.

Antwoord

D · Beslissingsproblemen die door een deterministisch algoritme in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
3.Datastructuren

Antwoord: B · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

B · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

D · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Antwoord

L = 11

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant DF

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. AB (10)
2. BC (12)
3. BE (13)
4. EF (3)
5. DF (4)

kantnummer 5

DF

Antwoord

kant DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms