Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

  1. AZe geeft automatisch 0 terug
  2. BDe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt
  3. CZe loopt in O(1) tijd
  4. DZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  3. C2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
  4. Dn = o(n²), maar n is niet o(n)
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is in het slechtste geval de hoogte van een binaire zoekboom met n knopen als de sleutels in gesorteerde volgorde worden ingevoegd?

  1. A√n
  2. Bn (hij wordt een gekoppelde lijst)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.DatastructurenMoeilijk

Wat doet een splay tree na elke toegang?

  1. ARoteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
  2. BVerplaatst de benaderde knoop naar een blad
  3. CBouwt de hele boom gebalanceerd opnieuw op
  4. DKleurt de knopen op het zoekpad opnieuw
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1116847215913176ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

D · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

D · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)

Waarom dit het antwoord is

Gesorteerd invoegen levert een gedegenereerde boom met hoogte n op, waardoor zoeken O(n) wordt. Gebalanceerde bomen voorkomen dit.

Antwoord

B · n (hij wordt een gekoppelde lijst)
4.Datastructuren

Antwoord: A · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel

Waarom dit het antwoord is

Splaying brengt de benaderde knoop via rotaties naar de wortel; één bewerking kan O(n) kosten, maar de geamortiseerde kosten zijn O(log n).

Antwoord

A · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

C, E, F, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 31

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

DF (1): nemen
DE (2): nemen
BD (4): nemen
EF (5): overslaan, sluit een cykel
GE (6): nemen
CE (7): nemen
BC (8): overslaan, sluit een cykel
GB (9): overslaan, sluit een cykel
AB (11): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 4 + 6 + 7 + 11 = 31

Antwoord

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms