Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom schakelen veel sorteerroutines in bibliotheken over op insertion sort voor heel kleine deelarrays?

  1. ARecursieve algoritmen kunnen geen arrays van minder dan 10 elementen aan
  2. BInsertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
  3. CInsertion sort gebruikt voor grote invoer minder geheugen dan elk ander sorteeralgoritme
  4. DInsertion sort is in het slechtste geval O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het stopprobleem (halting problem) laat zien dat:

  1. ALussen vermeden moeten worden
  2. BElk programma uiteindelijk stopt
  3. CSommige programma's sneller draaien op snellere computers, dus stoppen hangt van de hardware af
  4. DGeen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de maximaal mogelijke load factor in een hashtabel met open addressing?

  1. A1
  2. B2
  3. CEr is geen maximum
  4. D0,5
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(α(n))
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
3156122710151114ABCDEFG

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer

Waarom dit het antwoord is

Voor kleine n wint de eenvoudige lus van insertion sort van de recursie-overhead van quicksort of mergesort, ook al is insertion sort O(n²).

Antwoord

B · Insertion sort heeft weinig overhead en is snel op kleine of bijna gesorteerde invoer
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

Waarom dit het antwoord is

Turing toonde aan dat het stopprobleem onbeslisbaar is: aannemen dat er een beslisser bestaat, leidt tot een tegenspraak met een programma dat precies het tegenovergestelde doet.

Antwoord

D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
3.Datastructuren

Antwoord: A · 1

Waarom dit het antwoord is

Bij open addressing worden alle sleutels in de tabel zelf opgeslagen, dus n kan m niet overschrijden; bij separate chaining kan de load factor boven 1 komen.

Antwoord

A · 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

B · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: C

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 3, C: 15
2. B (3): C: 9, D: 15, G: 18
3. C (9): E: 11
4. E (11): F: 21
5. D (15)
6. G (18)
7. F (21)

ronde 3

C

Antwoord

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms