Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse NP is juist?

  1. AProblemen die geen enkel algoritme kan oplossen
  2. BProblemen die niet in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
  3. CBeslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
  4. DProblemen die niet polynomiaal zijn
3.DatastructurenGemiddeld

Een hashtabel van grootte 7 gebruikt h(k) = k mod 7 en linear probing. Waar wordt 17 opgeslagen nadat 10 is ingevoegd?

  1. AIndex 0
  2. BIndex 3
  3. CIndex 4
  4. DIndex 6
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is het belangrijkste voordeel van een skiplist ten opzichte van een gesorteerde gekoppelde lijst?

  1. AHij gebruikt geen extra geheugen
  2. BGegarandeerd zoeken in O(1), omdat elke knoop een pointer naar elke andere knoop bewaart
  3. CHij slaat sleutels ongeordend op
  4. DVerwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
17351144413ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema domineert nlog₂ 2 = n het constante werk, dus T(n) = Θ(n), zoals bij het vinden van een maximum door in helften te splitsen.

Antwoord

C · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd

Waarom dit het antwoord is

Bij een NP-probleem kan een voorgestelde oplossing (certificaat) snel worden gecontroleerd, bijvoorbeeld verifiëren dat een gegeven toekenning een booleaanse formule vervult.

Antwoord

C · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.Datastructuren

Antwoord: C · Index 4

Waarom dit het antwoord is

10 mod 7 = 3 en 17 mod 7 = 3; index 3 is bezet, dus linear probing probeert de volgende plaats, index 4.

Antwoord

C · Index 4
4.Datastructuren

Antwoord: D · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers

Waarom dit het antwoord is

Willekeurige niveaus laten zoekacties veel knopen overslaan, wat verwacht O(log n) oplevert voor zoeken, invoegen en verwijderen.

Antwoord

D · Verwacht zoeken in O(log n) door meerdere niveaus van voorwaartse pointers
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 19

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 7
B (1): D: 4, G: 5
D (4): E: 5
E (5): F: 19
G (5)
C (7)
F (19)

Kortste pad

A → B → D → E → F
d(F) = 19

Antwoord

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms