Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De ondergrens voor sorteren op basis van vergelijkingen in het slechtste geval is:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Insertion sort loopt in O(n) op gesorteerde invoer. Is dit in tegenspraak met de ondergrens Ω(n log n) voor sorteren met vergelijkingen?

  1. ANee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
  2. BNee, omdat insertion sort geen sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen is
  3. CJa, maar alleen voor arrays korter dan 100
  4. DJa, de ondergrens is dus fout
3.DatastructurenGemiddeld

Een in-order-doorloop van een binaire zoekboom bezoekt de sleutels in:

  1. AInvoegvolgorde
  2. BAltijd aflopende volgorde
  3. COplopend gesorteerde volgorde
  4. DVolgorde per niveau
4.DatastructurenMoeilijk

Welke datastructuur maakt een LRU-cache (least recently used) met get en put in O(1) mogelijk?

  1. AEén gesorteerde array
  2. BEen hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
  3. CAlleen een stack
  4. DAlleen een binaire zoekboom
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 20 hoekpunten en 24 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
51514243310ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ω(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Elk vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme heeft in het slechtste geval minstens log₂(n!) ≈ n log n vergelijkingen nodig. Countingsort doet het beter omdat het niet vergelijkt.

Antwoord

C · Ω(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer

Waarom dit het antwoord is

De grens zegt dat elk sorteeralgoritme op basis van vergelijkingen op een of andere invoer van grootte n ongeveer n log n vergelijkingen nodig heeft; speciale invoeren kunnen veel sneller zijn.

Antwoord

A · Nee, de ondergrens geldt voor het slechtste geval over alle invoeren, niet voor elke invoer
3.Datastructuren

Antwoord: C · Oplopend gesorteerde volgorde

Waarom dit het antwoord is

Eerst de linkersubboom, dan de knoop en dan de rechtersubboom bezoeken levert de BST-sleutels in gesorteerde volgorde op.

Antwoord

C · Oplopend gesorteerde volgorde
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst

Waarom dit het antwoord is

De hashmap vindt knopen in O(1) en de dubbel gekoppelde lijst verplaatst benaderde elementen naar voren en verwijdert achteraan in O(1).

Antwoord

B · Een hashmap gecombineerd met een dubbel gekoppelde lijst
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

20 − 1 = 19

Te verwijderen kanten

k = 24 − 19 = 5

Antwoord

k = 5
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 18

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 5
B (5): C: 20, D: 19, E: 15
E (15): C: 17, F: 18
C (17)
F (18)
D (19)

Kortste pad

A → B → E → F
d(F) = 18

Antwoord

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms