Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

  1. ALogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
  2. BLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen
  3. CHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
  4. DAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zou er volgen als iemand een algoritme in polynomiale tijd vond voor één NP-volledig probleem?

  1. AElk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
  2. BHet stopprobleem zou beslisbaar worden
  3. CAlle algoritmen met exponentiële tijd zouden meteen in lineaire tijd lopen
  4. DAlleen dat ene probleem zou naar P verhuizen
3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de preorder-doorloop?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

  1. ASorteer de lijst en zoek naar duplicaten
  2. BVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
  3. CTel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
  4. DSla elke bezochte knoop op in een hash-set
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
144810881597ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

A · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP

Waarom dit het antwoord is

Omdat heel NP in polynomiale tijd reduceert tot elk NP-volledig probleem, geeft een snel algoritme voor één ervan een snel algoritme voor alle.

Antwoord

A · Elk probleem in NP zou in polynomiale tijd kunnen worden opgelost, dus P = NP
3.Datastructuren

Antwoord: D · 1 2 4 5 3

Waarom dit het antwoord is

Preorder bezoekt 1, dan zijn linkersubboom (2, 4, 5), dan 3; de andere opties zijn inorder, postorder en level-order.

Antwoord

D · 1 2 4 5 3
4.Datastructuren

Antwoord: B · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

B · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

A, E → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 21

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 14, C: 4
C (4): B: 12, E: 12
B (12): D: 22
E (12): D: 20, F: 21
D (20)
F (21)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 21

Antwoord

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms