Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Is het juist om te zeggen dat een O(n²)-algoritme ook O(n³) is?

  1. AJa, maar alleen als n kleiner is dan 100
  2. BNee, omdat n³ voor grote n kleiner is dan n²
  3. CNee, omdat grote O altijd de exacte groeisnelheid van de functie moet geven
  4. DJa, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Als je beide eindpunten van elke kant in een maximale koppeling neemt, krijg je een knoopoverdekking. Hoe goed is deze overdekking?

  1. AVan onbekende kwaliteit vergeleken met het optimum
  2. BAltijd een minimale knoopoverdekking
  3. CHoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
  4. DHoogstens log n keer het minimum
3.DatastructurenGemiddeld

Een applicatie heeft snel opzoeken nodig en moet ook sleutels gesorteerd kunnen opsommen en bereikquery's beantwoorden. Welke structuur past het best?

  1. AEen gebalanceerde binaire zoekboom
  2. BEen hashtabel
  3. CEen ongesorteerde gekoppelde lijst
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe lang duurt het zoeken naar een willekeurige sleutel in een binaire min-heap van n elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log log n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij E? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³

Waarom dit het antwoord is

Grote O is een bovengrens, dus de uitspraak is waar maar niet strak; Θ(n²) geeft de exacte groeisnelheid.

Antwoord

D · Ja, omdat grote O een bovengrens is en n² niet sneller groeit dan n³
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

Waarom dit het antwoord is

De koppelingskanten delen geen knopen, dus het optimum heeft minstens één knoop per kant nodig, terwijl deze methode er twee neemt: een 2-benadering.

Antwoord

C · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
3.Datastructuren

Antwoord: A · Een gebalanceerde binaire zoekboom

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde BST geeft opzoeken in O(log n) en houdt sleutels geordend, zodat een inorder-doorloop en bereikquery's eenvoudig zijn; een hashtabel verspreidt sleutels.

Antwoord

A · Een gebalanceerde binaire zoekboom
4.Datastructuren

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Een heap geeft geen regel voor welke subboom een sleutel bevat, dus in het slechtste geval moeten alle knopen worden gecontroleerd; alleen het minimum is snel te vinden.

Antwoord

C · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 11

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Antwoord

L = 11

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms